Ciao Andrea19831, benvenuto nella Community Samsung! 
Se l'applicazione Google Home è stata aggiornata di recente, è possibile che la nuova versione non sia più compatibile con il sistema operativo installato sul tuo Note. L'ultima versione software disponibile per il tablet mi risulta infatti essere KitKat (Android 4.4.2), ed essendo stata distribuita alcuni anni fa è probabile che non sia più supportata dall'applicazione.
Per maggiori informazioni a riguardo ti consiglierei di fare riferimento direttamente allo sviluppatore attraverso l'email presente nella pagina dedicata sul Play Store 
Per quanto riguarda il problema rilevato con la funzione di mirroring, puoi indicarmi quale operazione esegui e come si presenta il problema, nello specifico? Il tablet ed il TV non si vedono più oppure una volta premuto sul nome del tuo TV non accade nulla?
Hai verificato che i dispositivi siano entrambi connessi alla stessa rete WIFI?
Hai provato a riavviare entrambi i dispositivi, scollegando la TV dalla corrente per qualche minuto?
Hai avuto modo di fare un test con un'altra TV, preferibilmente Samsung, in modo da capire se la responsabilità è del Note o del televisore?
Attendo un tuo riscontro!
Ciao,
